La chute libre

La chute libre sans vitesse initiale


Nous allons essayer de trouver à quelle vitesse sont allés notre livre et notre balance même si ce résultat sera sans doute très approximatif. Nous allons donc étudier la chute libre sans vitesse initiale d'un corps dans un champ de pesanteur uniforme. Il nous faut tout d'abord définir ce champ grâce à une relation: equation-1.png

     On prend pour g (la gravité) la valeur pour Paris qui est de g= 9,81 N.kg-1. Le vecteur gravité a un sens qui va vers le bas dans un repère et sa direction est verticale. Pour étudier la chute libre d'un corps, on nécessite un référentiel (terrestre), un repère en trois dimensions et un repère de temps, une horloge. 

     Lors d'une chute libre, un objet n'est soumis qu'à son poids. On peut donc en déduire, d'après la deuxième loi de Newton et en utilisant la somme des forces extérieures, la relation suivante (a représente l'accélération, P le poids, m la masse et G le centre de gravité de l'objet en question).equation-3-2.png     Et donc:equation-4-1.png

     Comme la gravité est une constante, l'accélération est donc elle aussi une constante, on obtient donc ce graphe:     

graphe-1-1.png

On veut ensuite projetter cette relation sur un repère pour l'étudier. On prend donc un repère orthonormé en trois dimensions avec la base base.png

 repere-1.gif     On prend z comme verticale orientée vers le haut et O est l'origine, la position initiale. On pose comme condition initiale que le vecteur vitesse et le vecteur OG sont nuls quand le temps est nul (t=0).

       On peut donc déduire les coordonnées suivants pour le vecteur gravité:equation-2-5.jpg     

     On a z = -g car le vecteur gravité est de sens vers le bas, donc inverse à l'axe z du repère. Sa direction verticale explique le fait que pour ce vecteur, x = 0 et y = 0. On en déduit donc les coordonnées du vecteur accélération (grâce à la relation liant la gravité à  l'accélération) :

coordonnees-5.png

     

     Les deux points au-dessus de x, y et z représent les dérivées successives opérées sur ces valeurs. Ici on a donc des fonctions qui ont été dérivées deux fois. Nous allons essayer de trouver les coordonnées du point lié à cette accélération. Pour cela, on utilise la primitive, c'est l'inverse de la dérivée, le retour en arrière. On détermine donc par intégration par rapport à t (quand on utilise la primitive) les coordonnées suivantes du vecteur vitesse grâce aux conditions initiales qui prouvent que toutes les constantes (mis à part la gravité) sont égales à zéro:equation-1-2.png

     

     On remarque que comme g est une constante, la vitesse et le temps sont reliées par une relation de proportionnalité. On sait aussi qu'une vitesse est forcément positive. Or -g est négatif et le temps est toujours positif. Donc pour avoir la vitesse, on utilise plutot cette relation:equation-2.png

     Ce qui nous permet de faire le graphique suivant:graphe-2-1.png

     Puis l'on refait une intégration pour obtenir les coordonnées du vecteur OG (on trouve une nouvelle fois que les constantes sont égales à zéro grâce aux conditions initiales de l'expérience:equation-5-3.png

     

     Grâce à la dernière relation  hz = (1/2) x g x t2  liant la hauteur h (représentée par z dans le repère) à la gravité et au temps, on peut produire le graphique suivant:graphe-4.png 

     Nous avons donc montré que quand un objet est en chute libre sans vitesse initiale, il a une chute rectiligne et verticale (car dans les coordonnées du vecteur OG on a x = 0 et y = 0); une accélération qui est toujours la même (voir premier graphique) et une vitesse qui est par conséquent proportionnelle au temps de chute.  Mais on peut en apprendre plus en mettant en relation les équations qu'on a trouvé.

     Ainsi, si on rapproche les deux équations vues précédemment: v = g x t  et   h = (1/2) x g x tet qu'on les combine pour supprimer la variable t, on obtient  t = v / g et donc h = (1/2) x g x v2 / g2 ou encore 2 x h x g = v2 <---> v = √2hg .

     Voici donc la relation caractéristique d'un objet en chute libre sans vitesse initiale.



Expérience personnelle

     Voici une expérience que nous avons réalisée par nous même et qui permet de démontrer qu'un objet en chute libre n'a plus de poids. Pour cela nous avons placé un livre de 173g sur une balance que nous tenions à environ un mètre du sol. Après avoir tenté à plusieurs reprises de filmer la chute de la balance sans aucun résultat satisfaisant, nous avons décidé d'accompagner la balance dans sa chute sans trop la retenir afin d'obtenir une image convenable sur le film. En effet, notre caméra n'est pas assez précise pour ce genre d'expérience, l'image était donc très floue. De plus, nous avons utilisé une balance de cuisine, donc pas très précise. Quand nous la lâchions, le temps en chute avant l'atterrissage était trop court pour qu'elle ait le temps de donner une nouvelle valeur.

 

experience-balance-1.png

                                         1- On tient la balance à 1m du sol

                                              → La balance affiche 173g

photo-experience-1.png

                                 2- On lâche la balance tout en l'accompagnant 

                                                     (mais sans la retenir !)

                                                → La balance affiche 157g

   

 Malgré le manque de précision des résultats de notre expérience, on peut tout de même en conclure qu'un corps en chute libre ne possède plus aucun poids. Ici, le livre n'était pas en chute libre, sans doute même pas en micropesanteur mais il a quand même perdu en poids car il ne reposait pas entièrement sur la balance étant donné que les deux chutaient à la même vitesse.

     Afin de vous prouver que notre expérience n'est pas truquée, voici la vidéo entière :

     

     On peut utiliser la relation vue précédemment pour calculer une vitesse, très approximative, de notre livre et notre balance, en prenant comme hauteur h = 1m.

     v = √2hg <---> v = √(2 x 9,81 x 1) <---> v = √19,62 = 4,43 m.s-1

   Voici donc un arrondi de sa vitesse même si cette valeur reste très approximative...


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